Le calcul du Laplacien est utilisé par les physiciens, comme la géophysique, l'électrostatique, la thermodynamique, la mécanique classique et quantique...etc. Et le calcul de ces valeurs propres nous donne les sauts d'énergie. M. S.Gallot & D.Meyer ont donnés une minoration optimale du spectre du Laplacien des p-formes sur une variété Riemannienne on utilisant l'opérateur de courbure, M.I.IWASAKI & K.KATASE et M. A.IKIDA & Y.TANIGUCHI ont calculés le spectre et les espaces propres avec leurs dimensions dans le cas de la sphère. Dans ce livre je reprends ces travaux, dans on trouve les démonstrations détailler de tous les théorèmes tels : Estimation du spectre dans le cas des fonctions, et les 1-forme, la formule de Weizenböck, Les identités de Ricci, la minoration du spectre des p-formes. Sur la sphère on retrouve les prouves : le calcul du spectre dans le cas des fonctions et que leurs espaces propres est précisément les ensembles des polynômes homogènes harmoniques, et pour les p-formes on calcule le spectre du Laplacien, et on montre que p-formes homogènes harmoniques fermées sont les seuls vecteurs propres, dans on calcule leurs multiplicités.
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