Ce travail est une étude systématique, des lois de distributions des valeurs de diverses sommes courtes normées c'est à dire des sommes avec des fonctions numériques, la longueur de l'intervalle de sommations étant petite comparée à la valeur de leur période ou en d'autres termes en comparaisons avec les longueurs des sommes complètes correspondantes. Pour les termes de ce genre de sommes il existe des lois bien définies indépendantes les une des autres. En liaison avec l'existence de ces lois , les distribution des valeurs prises par ces sommes obéiront à certaines lois de probabilités:Normale, exponentielles et autres.La base de cette recherche repose sur l'utilisation de puissantes et originales méthodes théoriques probabilistes tel que la méthode des moments de A.A.Markov,elle se trouve utilisée ici sous forme d'application d'un fait fondamental sur les suites des fonctions de répartitions. Les Fonctions arithmétiques utilisées dans cette recherche modélisent des variables aléatoires, qui peuvent être utilisées dans différentes applications des mathématiques.
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