Ce livre, écrit en 2004, aborde la question assez technique au premier abord de la diagonalisation du Laplacien associé au demi-plan de Poincaré et à ses quotients. Cette théorie est l'analogue de celle que l'on fait dans le plan euclidien (utilisant séries de Fourier et analyse fonctionnelle), et elle dispose du même potentiel d'application. La présentation de ce travail rend le sujet accessible à un néophyte ne possédant que des notions d'analyse réelle, complexe et fonctionnelle. Après un exposé détaillé de la théorie des formes automorphes, ce manuscrit aborde la problématique du trou spectral entre les deux premières valeurs propres du Laplacien hyperbolique. Ce sujet paraissant très technique est en réalité le point de concours de questions scientifiques contemporaines encore mal comprises ou demeurant ouvertes; en effet, ce travail mathématique est en rapport avec des questions de physique théorique (mécanique quantique, théorie du chaos), et de la théorie de l'information. Ainsi, il prend place, par exemple, dans la chaine des travaux qui nous permettront peut-être un jour de dessiner la forme de la toile d'un tambour rien qu'en écoutant le son qu'il produit.
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