Depuis Évariste Galois, l'arithmétique des corps a connu un développement considérable. Et au cours de notre siècle, de nombreux mathématiciens y ont apporté une contribution substantielle. On a bien formalisé les concepts de base, notamment en ce qui concerne la théorie de Galois, et l'on a ouvert une problématique assez vaste sur le sujet. L'ouvrage poursuit un double objectif : présentation des notions classiques : corps finis, polynômes cyclotomiques, symbole de Legendre, etc. ; présentation de notions plus sophistiquées : corps pythagoriciens, arithmétique des corps ordonnables, corps gauches, corps hilbertiens, niveau de corps, etc., ainsi que des résultats frappants d'arithmétique tels que l'impossibilité de la quadrature du cercle ou le fait qu'un élément de torsion dans un groupe de Galois absolu est une involution. Ce livre s'adresse principalement aux étudiants qui passent un certificat d'algèbre commutative et/ou d'arithmétique, et plus encore à ceux qui, parmi eux, se destinent à un troisième cycle universitaire. Plusieurs problèmes présentés intéresseront également les candidats à l'agrégation et, de manière générale, les amateurs de tous horizons passionnés par le sujet. L'auteur s'est attaché, par le choix des sujets et des méthodes abordées, à faire ressortir l'aspect esthétique de l'arithmétique des corps, voulant ainsi souligner l'extrême richesse de cette branche.
Sommaire :
Polynômes et corps cyclotomiques
Corps finis
L'arithmétique de Fp2 pour p=1(4)
Symbole de Legendre et loi de réciprocité quadratique
Finitude des sous-extensions
L'équation Xn-a=0
Extensions cycliques en caractéristiques p
C est algébriquement clos
Corps pythagoriciens
Corps des quaternions d'Hamilton
Sommes de quatre carrés
Etude d'un corps gauche
Quadrature du cercle
Corps hilbertiens, groupes de Galois sur Q
Corps P-réduisants
Corps différentiels
Morphismes préservant l'ordre
Corps ordonnables
Sur les éléments de torsion d'un groupe de Galois absolu
Sous-corps de C de degré fini
Niveau d'un corps.
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