Cet ouvrage, à destination des candidats à l'agrégation interne de mathématiques, propose une série de 30 développements possibles pour les épreuves orales de leçons et d'exercices.
Le développement, effectué sans notes le jour du concours, consiste à détailler une situation mathématique importante afférente au sujet choisi. Il peut s'agir de la démonstration d'un théorème (pour l'oral 1) ou de la résolution d'un exercice (pour l'oral 2). Il est donc important de montrer une aisance dans l'exposé des énoncés ainsi que dans la maîtrise des concepts mis en jeu. Pour chaque développement, les candidats trouveront une série de commentaires ayant pour but de faire un point sur les pré-requis nécessaires. Quelques ouvertures sont également proposées afin de placer le sujet dans un cadre plus large. Dans cet ouvrage, plusieurs démonstrations peuvent être exposées pour un même développement et ce, dans un but de croiser les concepts et les différentes branches des mathématiques.
Sommaire Représentation décimale propre d'un rationnel Théorème de Lagrange et sous-groupe distingué Arithmétique et périodicité Théorème de Riesz Théorème de Weierstrass Théorème de d'Alembert-Gauss Equivalence des normes Théorème de Carathéodory Théorème de Kakutani Une application des théorèmes de Kakutani et de Carathéodory Théorème spectral Matrices de Moore Théorème d'inversion locale Norme d'une forme linéaire continue Disques de Gerschgorin Injectivité de l'exponentielle sur l'ensemble des matrices réelles diagonalisables Bicontinuité de l'exponentielle sur l'ensemble des matrices symétriques réelles Théorème de Cayley-Hamilton Surjectivité de l'exponentielle sur l'ensemble des matrices carrées à coefficients complexes Rayon spectral et série (dans l'ensemble des matrices carrées à coefficients complexes) Calcul de l'intégrale de Dirichlet Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire Fonction continue dont la série de Fourier diverge Théorème de Fejér Images des entiers pairs par la fonction zeta Phénomène de Gibbs Equation de Bessel Nombres de Bell Approximation d'intégrales Méthode de Newton pour la décomposition polaire
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