Longtemps la géométrie, science de la quantité continue, fut opposée à l'arithmétique, science de la quantité discrète. L'analyse et l'algèbre ont fonctionné comme outils de communication.
L'analyse a été un mode de raisonnement sur ce qui n'est pas donné, l'algèbre une technique appliquée, grâce à un langage commun, autant à la géométrie qu'à l'arithmétique. Elles se sont transformées par un long processus, dont certaines étapes importantes sont étudiées dans ce livre. Le premier chapitre traite des origines conceptuelles et de l'évolution de l'analyse jusqu'à Descartes. Le second aborde les fondements constructifs de la géométrie euclidienne, qui utilise les diagrammes pour les relations spatiales. Le troisième étudie la réforme cartésienne de cette géométrie, ouvrant la voie à de nouvelles applications de l'algèbre à la théorie des courbes. Le quatrième discute la tentative de Lagrange de faire de l'analyse - dite « algébrique » - la base ultime des mathématiques. Le cinquième explore les prolongements de cette tentative à la mécanique, dite « analytique ».
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