Dans la première partie, le livre étudie, à la lumière des théories modernes, les problèmes célèbres de l'Antiquité sur les constructions par la règle et le compas et soulève à leur sujet nombre de questions nouvelles ; il traite aussi des courbes décrites par les points dun système articulé. La deuxième partie est consacrée à la solution des problèmes d'algèbre soulevés par ces constructions géométriques, et en particulier, aux questions de rationalité, d'irrationalité ou de transcendance, à l'inscription des polygones réguliers dans le cercle. Enfin une troisième partie s'occupe des points à coordonnées rationnelles situés sur une courbe algébrique, de la construction des points de ces courbes et relie ces questions aux notions de genre, de surfaces de Riemann et à la théorie des nombres.
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