Le présent ouvrage, destiné aux étudiants de troisième année de licence de mathématiques ainsi qu'aux étudiants de master et même au-delà, a pour but de présenter plusieurs aspects importants concernant les courbes algébriques complexes projectives lisses ou les surfaces de Riemann compactes, une des plus belles théories en mathématiques. Les objets dont il est question sont d'une extraordinaire richesse du fait de leur implication dans plusieurs recherches anciennes et récentes (dont par exemple la théorie moderne des systèmes intégrables). L'étude est menée dans une approche de géométrie complexe et les méthodes utilisées sont analytiques, topologiques, algébriques et géométriques. Tout cela fait de ce livre un des très rares livres en français sur le sujet.
Une telle courbe X est homéomorphe à un tore à g trous. Le nombre g est le genre de X. Un cas particulier important est celui des courbes elliptiques (cas où g =1). La grande famille des courbes elliptiques (qui, par un hasard de la terminologie mathématique, ne compte pas l'ellipse parmi ses membres) est ainsi nommée en raison de sa proximité avec la théorie des intégrales elliptiques, dont l'intérêt auprès de l'apprenti mathématicien ou physicien n'est plus à prouver : on les rencontre en effet aussi bien dans le calcul de la longueur d'un arc d'ellipse ou de lemniscate que dans l'expression de la période du pendule simple. La théorie de ces courbes a pu sembler en sommeil dans la seconde moitié du vingtième siècle jusqu'au moment où elles ont trouvé des applications inattendues en cryptographie (la théorie était déjà toute prête) puis dans l'ultime théorème achevant la démonstration de la conjecture de Fermât.
Deux moyens d'aborder ces courbes sont à présent bien rodés : l'approche algébrique de Dedekind, dont la lente maturation conduira à la Géométrie algébrique moderne, et l'analytique, plus concrète et plus intuitive et qui enrichira au passage le catalogue des fonctions spéciales, dont les fonctions de Jacobi et les fonctions thêta. C'est par cette seconde voie qu'Ahmed Lesfari nous invite à cheminer vers un Olympe de richesses insoupçonnées, qu'ont fréquenté les plus grands génies, tels Abel, Riemann ou Weierstrass. De nombreux exercices, disséminés dans le texte, permettent au lecteur d'asseoir sa compréhension de ces objets, voire d'en élargir le champ.
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