L'objectif principal de ce troisième volume est de
donner une introduction à la théorie des équations
différentielles ordinaires et aux dérivées partielles et
d'introduire certains outils de base pour les méthodes
mathématiques de la physique. La première partie présente
la théorie fondamentale des équations différentielles
ordinaires en utilisant les méthodes analytiques
classiques. La deuxième partie développe les outils de
bases pour l'étude des équations aux dérivées partielles.
La troisième et dernière partie concerne les équations aux
dérivées partielles. Outil de travail conçu pour les
étudiants en mathématiques et physique dans leurs deuxième
et troisième années d'études, la richesse et la complétude
de son index en font un manuel de référence pour tout
mathématicien.
Sommaire
CONVENTIONS, NOTATIONS ET RAPPELS: Ensembles et
fonctions - Nombres réels - Cardinalité - Quelques
fonctions réelles - Notations topologiques - Espace Ck -
Intégration - Algèbre linéaire - Conventions diverses
Partie I EQUATIONS DIFFERENTIELLES ORDINAIRES
Existence et unicité des solutions: Généralités sur les
équations différentielles ordinaires - Théorèmes généraux -
Equations linéaires - Prolongement des solutions - Exemples
- Compléments - Remarques - Exercices
Equations linéaires : Systèmes linéaires généraux du
premier ordre - Systèmes linéaires du premier ordre à
coefficients constants - Calcul de exp(tA) - Equations
linéaires d'ordre supérieur - Equations linéaires du second
ordre - Solutions à l'aide des séries entières - Etude
qualitative des équations différentielles linéaires du
second ordre - Exercices - Compléments
Partie II Analyse Hilbertienne Espaces de
Hilbert: Notions fondamentales - Exemples - Espaces
séparables - Systèmes orthogonaux - Séries et sommes dans
un espace préhilbertien - Bases orthonormales -
Approximation optimale - Compléments
Développements orthogonaux: Séries de Fourrier -
Convergence ponctuelle des séries de Fourrier - Exercices -
Compléments et généralisations - Séries de Fourier des
distributions - Exercices - Polynômes orthogonaux -
Exercices - Compléments et remarques
Opérateurs dans les espaces Hilbertiens: Notions
fondamentales - Exemples - Opérateurs compacts - Théorie
spectrale pour les opérateurs compacts symétriques -
Equations intégrales - Spectre d'un opérateur borné -
Exercices - Opérateurs non bornés - Spectre des opérateurs
non bornés - Langage de la mécanique quantique -
Remarques
TRANSFORMATIONS DE FOURIER ET DE LAPLACE:
Transformation de Fourier - Développements théoriques -
Formule de Stirling - Distributions - Compléments -
Exercices - Compléments concernant la transformation de
Fourier - Transformation de Laplace - Développements
théoriques -Transformée de Laplace des distributions -
Applications aux équations différentielles - Exercices -
Remarques complémentaires concernant la transformation de
Laplace
PARTI III Equations aux dérivées partielles
Introduction: Généralités - Equations aux dérivées
partielles linéaires du premier ordre - Equations aux
dérivées partielles linéaires du second ordre - Solutions
formelles - Conditions aux limites non homogènes - Exemples
d'opérateurs - Appendice - Exercices - Compléments
PROBLEMES ASSOCIES AU LAPLACIEN: Formules préliminaires
- Fonctions harmoniques - Fonctions sous-harmoniques -
Propriétés des fonctions harmoniques - Problème de
Dirichlet - Valeurs propres - Equations de la chaleur -
Equation des ondes - Exercices - Indications
bibliographiques
Réponses aux exercices
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